Пусть P и Q  — се­ре­ди­ны ребер AA₁ и DD₁, со­от­вет­ствен­но. Се­че­ни­ем сферы плос­ко­стью APQ яв­ля­ет­ся окруж­ность, опи­сан­ная около этого тре­уголь­ни­ка, и, сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ни­ка APQD, сле­до­ва­тель­но, точка D также лежит на сфере. Ана­ло­гич­но, для плос­ко­сти ADC₁, точка B₁ также лежит на сфере.

Центр сферы яв­ля­ет­ся точ­кой рав­но­уда­лен­ной от точек A, P, Q, D, сле­до­ва­тель­но, лежит на пря­мой про­хо­дя­щей через R  — центр че­ты­рех­уголь­ни­ка APQD пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти APQD. Ана­ло­гич­но, для точек A, B₁, C₁, D, центр лежит на пря­мой про­хо­дя­щей через O  — центр че­ты­рех­уголь­ни­ка AB₁C₁D (центр куба) пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти AB₁C₁D. Обе эти пря­мые лежат в се­ре­дин­ном се­че­нии куба KLMN, где K, L, M, N  — се­ре­ди­ны ребер AD, A₁D₁, B₁С₁, BC, со­от­вет­ствен­но. Точка их пе­ре­се­че­ния Z  — центр сферы. Не­труд­но про­ве­рить, что она рав­но­уда­ле­на от всех из­вест­ных точек, ле­жа­щих на сфере. Най­дем квад­рат ра­ди­у­са сферы

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти сферы равна

Ответ: 840.